Quando Gödel sganciò
la bomba sulla matematica


Il Mulino dedica una nuova collana alle “Formule per leggere il mondo” e dopo La formula più famosa (saggio di Vincenzo Barone dedicato alla fisica di Albert Einstein) porta in libreria I teoremi di incompletezza, un’appassionata dissertazione di Gabriele Lolli sull’opera di uno dei matematici più citati e forse meno compresi del Novecento: Kurt Gödel (1906-1978). Un’abbinata particolarmente riuscita per il primo volumetto incentrato sulla teoria matematica. Non è la prima opera che Lolli, già docente di Logica matematica all’Università di Torino e poi di Filosofia della matematica alla Scuola Normale Superiore di Pisa, autore di numerosi libri, dedica alla figura del genio austriaco poi naturalizzato statunitense.
Come fa notare fin dal primo capitolo, la sua comparsa sul finire degli anni Venti ha un effetto dirompente su un panorama già in fermento:

“La matematica viveva un periodo di esaltazione e nello stesso tempo di crisi d’identità iniziato nel secondo Ottocento, per il concorso di diverse tendenze […]: maggiore astrazione, che voleva dire distacco dal mondo fisico e dall’esperienza, simbolicamente rappresentata dalla teoria dell’infinito […]; tentativi di organizzare le teorie nuove, e riparare le vecchie, in modo assiomatico, che significava che i teoremi potevano avere una legittimazione solo se dedotti dagli assiomi, mentre le trattazioni vecchie e nobili (l’analisi infinitesimale, per esempio) erano inficiate da dimostrazioni non rigorose e approssimative”.

Il sogno di Leibniz
E così, mentre prende corpo una nuova sensibilità, gli sforzi dei matematici si trasferiscono nelle formule e nelle dimostrazioni, adottando la nuova logica di George Boole (1815-1864) e Giuseppe Peano (1858-1932) per realizzare il sogno di Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) di “un metodo formale e combinatorio” per esprimere e risolvere ogni problema matematico. Proprio alla logica formale rivolge i suoi interessi il giovane Gödel, i cui studi risulteranno determinanti nel vincere le resistenze dei colleghi alla cosiddetta “svolta linguistica”, che si apprestava a “spostare la sede della matematica nei linguaggi simbolici e nella logica” ma che ancora andava a toccare nervi scoperti tra i matematici (tra cui lo stesso Peano), particolarmente sensibili alle antinomie che sembravano destinate a minare dalle fondamenta qualsiasi tentativo di ragionamento formale.
A beneficio dei lettori, citiamo a questo proposito la più classica di tutte le antinomie rivelatrici delle ambiguità del linguaggio, a cui pure Lolli dedica un ampio approfondimento, e con cui molti di noi avranno dimestichezza dalle loro reminiscenze scolastiche di matematica o filosofia: l’affermazione “questa proposizione è falsa”, che risale addirittura al paradosso del mentitore, noto fin dal VI secolo a.C. nella formulazione “il cretese Epimenide afferma che tutti i cretesi mentono”. Quale può essere il contenuto di verità di una frase pronunciata da chi non può essere che un mentitore, stando al contenuto della frase stessa?

Vincolo d’unione (1956) di Maurits Cornelis Escher.

Nonostante lo scetticismo, verrebbe da dire quasi il sospetto (perfettamente ricostruiti negli excursus storici che infarciscono il volumetto) di pensatori del calibro di Bertrand Russell (1872-1970) e Ludwig Wittgenstein (1889-1951), il lavoro di Gödel risultò rivoluzionario e fecondo fin da subito, cogliendo la ricorsività (l’autoriferimento, per citare Lolli) implicita nelle antinomie linguistiche, per separare il piano sintattico da quello semantico, e andando a implementare la cosiddetta aritmetizzazione – un procedimento consistente nell’assegnare numeri naturali a tutti gli elementi del linguaggio, “in modo che tutte le relazioni e le operazioni sintattiche sui codici numerici (detti «gödeliani») siano relazioni e operazioni aritmetiche” – per sdoppiare la teoria in una teoria (con riferimento ai numeri naturali) e una metateoria sovrapposta (che fa invece riferimento agli elementi linguistici).

Il programma di Hilbert
Il XX secolo sorge per la matematica nel segno di David Hilbert (1862-1943), che proprio nel 1900, in occasione del Congresso internazionale dei matematici di Parigi, illustrò una lista di ventitré problemi irrisolti che avrebbero dovuto guidare l’operato dei colleghi negli anni a seguire. In risposta anche alla corrente intuizionista che all’inizio del Novecento si giovò del lavoro di Luitzen E. J. Brouwer (1881-1966), e che nel nome si rifà alla convinzione che gli enti matematici siano costruzioni mentali, Hilbert, che era stato originariamente un suo estimatore, si dedicò al suo ambizioso progetto inteso, scrive Lolli,  a “formalizzare (tradurre in un linguaggio interamente simbolico) le teorie che usavano una matematica avanzata (transfinita), in modo da sostituirle con insiemi di testi formali su cui ragionare con metodi di matematica sicura (finitista) e in tal modo ottenere una dimostrazione di non contraddittorietà”.

Concavo e convesso (1955) di Maurits Cornelis Escher.

Mentre il dibattito si faceva sempre più acceso e un numero crescente di matematici profondeva i propri sforzi nel progetto di Hilbert, che prevedeva “innanzitutto la definizione di linguaggi formali adeguati, quindi di un sistema di logica di riferimento […] e infine le dimostrazioni vere e proprie di non contraddittorietà”, arrivò sulla scena Kurt Gödel, nato in Moravia, iscritto all’Università di Vienna, dove fu un frequentatore occasionale degli ambienti neopositivisti (il cosiddetto Circolo di Vienna), e che nel 1928 a Bologna aveva assistito a una lezione dello stesso Hilbert sui problemi di consistenza e completezza dei sistemi matematici. Nel 1929 la sua dissertazione di dottorato dimostrò la completezza del calcolo dei predicati del primo ordine, fornendo una risposta positiva alle questioni sollevate dal maestro tedesco durante il seminario bolognese. Ma la bomba di Gödel, come la chiama pittorescamente Lolli, sarebbe stata sganciata l’anno successivo, con la presentazione al Convegno di Königsberg dei due teoremi di incompletezza che avrebbero contribuito alla duratura fortuna del suo nome.

L’impresa di Gödel
Rimandiamo alle pagine di Lolli per un’elegante enunciazione dei teoremi e per una loro concisa dimostrazione formale, ma non possiamo esimerci dal richiamare in questa sede le conclusioni rilevanti esposte da Gödel, ovvero che in un sistema matematico coerente, sufficientemente potente da definire la struttura dei numeri naturali dotati delle operazioni di somma e prodotto, è possibile costruire una proposizione sintatticamente corretta che non può essere né dimostrata né confutata all’interno dello stesso sistema (primo teorema); e che nessun sistema, abbastanza coerente ed espressivo da contenere l’aritmetica, può essere utilizzato per dimostrare la propria coerenza, ma per farlo occorre ricorrere a strumenti matematici e logici più potenti della teoria stessa (secondo teorema).
Il filosofo Rudolf Carnap (1891-1970), assiduo del Circolo di Vienna, si ispirò proprio a Gödel nella sua Sintassi logica del linguaggio, data alle stampe nel 1934, che divenne il testo di riferimento dei neopositivisti logici sostituendosi proprio al Tractatus Logico-Philosophicus di Wittgenstein, contribuendo forse al fastidio di quest’ultimo per i risultati conseguiti da Gödel. In polemica con i neopositivisti, ma rifacendosi proprio all’interpretazione di Carnap, l’epistemologo Karl Popper (1902-1994) arrivò a concludere l’impossibilità di “costruire un linguaggio che consenta di formalizzare tutte le inferenze intuitive valide”, vanificando gli sforzi dei neopositivisti di conseguire un linguaggio unificato universale, capace di “formalizzare tutte le dimostrazioni delle asserzioni che (in qualche altro linguaggio) possono essere dimostrate” (Popper, 1972).
L’impresa di Gödel, sottolinea Lolli,

“ha consegnato alle generazioni successive un nuovo capitolo della matematica, quello delle funzioni calcolabili e della teoria della complessità: non ha solo dato le definizioni di base, ma con codifiche, diagonalizzazione, autoriferimento, ha fornito tutte le tecniche per il trattamento dei problemi algoritmicamente insolubili”.

E come ha saputo cogliere il fisico Stephen Hawking (1942-2018) in occasione delle commemorazioni per il centenario della nascita di Paul Dirac (1902-1984), i risultati di Gödel suggeriscono l’inesauribilità della matematica e sembrano perfino capaci di mitigare la frustrazione dei fisici di fronte alla ricerca fallimentare di una teoria del tutto:

“Qualcuno sarà deluso che non ci sia una teoria finale che possa essere formulata con un numero finito di principi. Io stesso appartenevo a questa schiera, ma mi sono ricreduto. Ora sono contento che la nostra ricerca non avrà mai fine, che avremo sempre la sfida di nuove scoperte. Altrimenti sarebbe la stagnazione. Il teorema di Gödel ha assicurato che ci sarà sempre un lavoro per i matematici. Io penso che la teoria M farà lo stesso per i fisici. Sono sicuro che Dirac sarebbe stato d’accordo” (Hawking, 2002).

Le risonanze con la fisica si spingono fino al parallelo con il principio di indeterminazione di Heisenberg, che come Lolli rimarca viene spesso citato con i teoremi di incompletezza quali “simboli o spiegazioni del crollo del principio di oggettività”, per quanto pare che Gödel ne fosse tutt’altro che entusiasta. Ma è forse ancora più interessante notare come nel gioco degli specchi un punto focale sia rappresentato da Alan Turing (1912-1954), proprio in virtù dell’enorme impatto avuto da Gödel nel campo della matematica applicata, non ultima la teoria algoritmica dell’informazione.

La magia naturale della matematica
Con un approccio olistico se non enciclopedico, in aggiunta alle reazioni di matematici e fisici, Lolli passa in rassegna una serie di puntuali testimonianze delineando l’accoglienza che filosofi, letterati e artisti hanno riservato ai teoremi di incompletezza, per finire con le interpretazioni date dallo stesso Gödel ai suoi risultati, quasi a voler sgomberare il campo dai possibili fraintendimenti e dalle letture forzate che come dicevamo non sono certo mancate. In un capitolo dedicato viene messa bene in luce l’adesione di Gödel al platonismo, che si manifesta nella distinzione tra una matematica propria oggettiva, formata dal sistema di tutte le proposizioni matematiche vere, e una matematica propria soggettiva, formata invece dal sistema di tutte le proposizioni matematiche dimostrabili. E Lolli aggancia a questo capitolo una disamina altrettanto accurata delle incursioni di Gödel nella teoria della mente.
Quello che emerge è uno spaccato che ne illumina l’opera e una fedele rappresentazione della sua portata interdisciplinare. Lo slancio divulgativo dell’autore, che condisce la trattazione di divagazioni e incisi, è encomiabile e riesce nell’impresa tutt’altro che agevole di diradare le nebbie che avvolgono un argomento tra i più ostici. Sebbene una o anche più riletture siano raccomandate per cogliere la profondità dei concetti illustrati, è fin dal primo impatto con queste pagine che il lettore viene assorbito da un universo di magia e bellezza, rimanendone inevitabilmente catturato fino alla fine.

Letture
  • Godfrey Harold Hardy, Apologia di un matematico, Garzanti, Milano, 2002.
  • Stephen Hawking, Gödel and the End of Physics, Centre for Mathematical Studies, Cambridge, 2002.
  • Douglas Richard Hofstadter, Gödel, Escher, Bach. Un’eterna ghirlanda brillante, Adelphi, Milano, 1984.
  • Roger Penrose, La mente nuova dell’imperatore, Rizzoli, Milano, 1992.
  • Karl Popper, Congetture e confutazioni, il Mulino, Bologna, 1972.
  • Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus e Quaderni 1914-1916, Einaudi, Torino, 2009.

 

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